Sunt Dobrotă Daria , și am decis să vă prezint 2 probleme de matematică luate din caietul meu de vacanță, probleme care , mai demult , îmi dădeau mari bătăi de cap. Aceste probleme sunt asemănătoare , numai că rezolvarea diferă puțin.
- Determinați cel mai mic număr natural care, împărțit pe rând la 15, 18 și 48, dă de fiecare dată restul 11 și câturi nenule.
REZOLVARE:
Obs. Vom folosi notația “a^b” pentru a scrie “a la puterea b”.
Din Teorema împărțirii cu rest, avem:
a = b·q+r, r<b unde a,b,q,r sunt numere naturale
Fie x- numărul pe care trebuie să-l aflăm.
x = 15d +11 d,e,f-numere naturale
x = 18e +11
x = 48f +11
Următorul pas este să eliminăm restul, adică îl vom scădea din deîmpărțit.
x-11 = 15d
x-11 = 18e
x-11 = 48f
x-11 este un multiplu pentru cele trei numere și asta înseamnă că x-11 va fi cel mai mic multiplu comun al celor trei numere.
Pentru început vom descompune numerele în factori primi:
15 = 3 · 5
18 = 2 · 3^2
48 = 2^4 · 3
[15,18,48] = 2^4 · 3^2 · 5 = 720 (înmulțim toți factorii , cei comuni și cei necomuni, cei comuni scriși o singură dată, la puterea cea mai mare la care apar).
x-11 = 720
=> x=720 + 11
x= 731
- Determinați cel mai mic număr natural care împărțit la numărul 24 dă restul 15, și împărțit la numărul 36 dă restul 27.
REZOLVARE:
Din Teorema împărțirii cu rest, avem:
a = b·q+r, r<b unde a,b,q,r sunt numere naturale.
Fie x- numărul pe care trebuie să-l aflăm.
x = 24d +15 d,e–numere naturale
x = 36e +27
În ambele situații vom aduna ambii membrii cu 9, și imediat vom observa de ce.
x+9 = 24d + 15 + 9 = 24d + 24
x+9 = 36e + 27 + 9 = 36e + 36
Iar acum vom da factor comun și vom avea :
x+9 = 24(d+1)
x+9 = 36(e+1)
În acest moment vedem că x+9 este un multiplu pentru 24 și 36, ceea ce înseamnă că x+9 este cel mai mic multiplu comun al numerelor.
Descompunem numerele în factori primi:
24 = 2^3 · 3
36 = 2^2 · 3^2
[24, 36] = 2^3 · 3^2 = 8·9 = 72
x+9=72
=> x=72-9
x=63
Sper că v-am ajutat!
